Entiéndase este artículo en el contexto de una serie de publicaciones, inicialmente sobre teoría de conjuntos, dedicadas a ayudar a quien le pueda interesar la materia a iniciarse a las matemáticas universitarias, si es que no está iniciado ya. En este tipo de textos el autor desconoce la naturaleza del lector y por ello considero que no ha de asumir que este sepa de antemano los temas que se tratan en él. Sin embargo, no es mi intención suponer que el lector se halla falto de conocimiento ni mucho menos cuestionar sus capacidades. Es por ello que invito al lector a tratar este texto con la mayor amabilidad posible, pues es así como considero que ha de transmitirse el conocimiento de forma eficaz.
Dicho esto, empezamos a enumerar las principales operaciones que se pueden realizar sobre conjuntos.
Definición. Recordemos que un conjunto es una serie de objetos agrupados sin un orden.
La primera operación que vamos a tratar es la unión de conjuntos. Ésta se corresponde con la operación lógica ‘o’ (inclusiva), de forma que, dados dos conjuntos A y B, se entiende la unión de ambos conjuntos como el conjunto de los elementos que están en cualquiera de los dos conjuntos, o ambos. Dicho más rigurosamente:
Podemos iterar esta operación las veces que queramos, y una forma abreviada de escribirla para muchos conjuntos es utilizando la notación con índices, que se expresa como
Ejemplo. Ténganse los siguientes conjuntos y el conjunto unión que resulta de unirlos todos ellos:
También podemos tratar la unión exclusiva de conjuntos como el conjunto que contiene los elementos que se encuentran en uno, y solo uno, de los conjuntos tratados. Esta definición no debería suponer gran problema para el lector, pero para mayor claridad la ilustraré formando la unión exclusiva de los conjuntos del ejemplo anterior como sigue:
Se deja como ejercicio al lector comprobar que, efectivamente, se cumple la propiedad asociativa tanto en la unión inclusiva como exclusiva de conjuntos, así como se podrá ver que se cumple para la siguiente operación.
Definición. Definimos la intersección de dos conjuntos como el conjunto de los elementos que se encuentran en ambos conjuntos. Ésta es una operación binaria, pero puede extenderse a cualquier número de conjuntos gracias a la propiedad asociativa, la cual hemos asumido que se cumple casi como un axioma.
Formalmente, la intersección de conjuntos se expresa como sigue:
Ejemplo. Nótese que la intersección de los tres conjuntos anteriores es el conjunto vacío.
Ejercicio. Dar dos conjuntos cuya intersección no sea nula, y expresar dicha intersección en términos de conjuntos.
Al igual que con la unión, esta operación se puede iterar y expresar en notación de subíndices de la siguiente manera:
Esta notación se utiliza, por ejemplo, en el principio de los intervalos encajados para caracterizar la completitud del conjunto R de los números reales, pero dicho uso queda fuera de los límites de este artículo.
Otra operación que mencionaré es el producto cartesiano de dos o más conjuntos, y éste se define como
De él, cabe destacar que su cardinalidad es igual al producto de la cardinalidad de los dos conjuntos que lo forman, y que se puede definir con más de dos conjuntos, así
es la n-tupla con primer elemento cualquiera del primer conjunto, segundo elemento del segundo conjunto, etc.
También cabe destacar que se cumple la propiedad distributiva respecto la unión y la intersección y que no se cumplen ni la propiedad conmutativa ni la asociativa.
Usualmente, se definen los conjuntos de números teniendo en cuenta un conjunto universo. Es decir, un conjunto al cual pertenecen todos los elementos que se tratan, como pueden ser el conjunto de números reales, o el de los números enteros. Normalmente estos conjuntos quedan sobreentendidos por el contexto, pero nunca está de más saber que cuando trabajamos con un conjunto lo hacemos sobre un conjunto universo.
Así, si estamos trabajando con números múltiplos de otros o con congruencias, usualmente lo hacemos en el conjunto universo de los números enteros; y si trabajamos con los puntos de la recta, normalmente estamos trabajando en el conjunto de los reales, si no se especifica lo contrario, y no con un conjunto universo totalmente aleatorio como podría ser el conjunto de tubérculos que existen, o el conjunto de expresiones que puede poner una persona.
Con esta definición en mente, podemos definir el siguiente término:
Definición. Entendemos el complementario de un conjunto como el conjunto de los elementos que, sin salir del conjunto universo, no pertenecen a dicho conjunto, y lo expresamos como
Propiedad. Las dos propiedades siguientes son evidentes:
- Un conjunto y su complementario son disjuntos. Esto es, no tienen ningún elemento en común.
- La unión de un conjunto y su complementario es todo el conjunto universo.
Ninguna de ellas, por cierto, implica a la otra ni son equivalentes, es el hecho de que ambos son conjuntos complementarios el motivo por el cual se enuncian estas propiedades.
También debería ser trivial demostrar que el complementario del complementario de un conjunto es el mismo conjunto, así que se deja como ejercicio para el lector.
La última operación que introduciré es la diferencia de conjuntos, que se enunciará con las siguientes dos definiciones, que son equivalentes:
En este caso, no se cumple ni la propiedad conmutativa ni la asociativa, como podríamos comprobar si dispusiéramos de las herramientas para ello. A saber, las leyes de De Morgan, otras formas de demostrar que dos conjuntos son idénticos y la suficiente soltura con los operadores lógicos como para manejarlos con confianza. Es por ello que se ha dejado como ejercicio para el lector al final de este artículo, momento en el que tendrá dichas herramientas y será capaz de comprobarlo por su cuenta.
Sin embargo, no desistiremos en nuestra búsqueda (solo la aplazamos hasta que tengamos las capacidades para responderla). Ello nos lleva a la siguiente definición.
Definición. Decimos que un conjunto es subconjunto de otro si, y solo si, todos sus elementos están incluidos en este. Esto es,
Dado que no conocemos (todavía) los operadores lógicos y su significado, solo nos basta con saber que un conjunto es subconjunto de otro si, y solo si, el hecho de que un elemento esté en el primero implica que está en el segundo, que es una consecuencia de la definición recién dada.
Definición. Decimos que un conjunto es subconjunto estricto de otro subconjunto si es un subconjunto de este, pero ambos conjuntos no son iguales.
Teorema. Dos conjuntos son iguales si, y solo si, ambos conjuntos son subconjunto del otro. Ésto es,
Esta herramienta será una de las más útiles a la hora de demostrar la igualdad de conjuntos, pues es más sencillo demostrar que dos conjuntos están incluidos el uno en el otro que demostrar que son iguales.
Demostraré la utilidad de esta técnica de demostración con un ejemplo:
Ejercicio. Demostrar que los conjuntos
Son iguales. Esta es, por cierto, una de las propiedades distributivas de la conjunción y disyunción de conjuntos.
Solución.
Procedemos así. Primero demostramos que el primer conjunto está incluido en el segundo:
La contención contraria se puede demostrar por simetría, puesto que la relación de la primera línea es de equivalencia, y, por tanto, simétrica.
El autor en este caso se ve metido de lleno en una contradicción, pues ha supuesto que el lector no es necesariamente conocedor de la lógica matemática necesaria para llevar a cabo la justificación. El lector puede culpar al autor de no haber introducido estos elementos antes de utilizarlos, pues no era el objetivo de este artículo ser confuso en ninguna medida.
Una vez introducidas las herramientas necesarias, podemos enunciar el siguiente teorema:
Teorema. Leyes de De Morgan. Se cumplen las siguientes igualdades:
Demostración.
Para demostrar la primera igualdad sin usar excesivos operadores lógicos, basta con aplicar las definiciones de complementario y de unión y disyunción de conjuntos. Solo hace falta observar que si un elemento no pertenece ni a un conjunto ni a otro, es que pertenece al complementario del uno y al complementario del otro. Ésto se expresa con el operador lógico ‘y’, que es la conjunción de conjuntos. Es decir, el elemento anteriormente mencionado pertenece a la intersección de los dos conjuntos. Formalmente,
La implicación inversa se demuestra por simetría.
Para demostrar la segunda igualdad, también lo haré tanto formal como informalmente. Para demostrarlo informalmente, basta con observar que el hecho de que un elemento no pertenezca a la intersección de dos conjuntos es equivalente a que no pertenezca o a uno, o al otro, o a ninguno de los dos, que es precisamente el significado de la parte derecha de la igualdad. Formalmente,
Daré un uso práctico a las leyes de De Morgan demostrando que se cumple la propiedad distributiva de la diferencia de conjuntos junto con la intersección.
Teorema. Se cumple la siguiente igualdad:
Demostración. Lo demostraré utilizando las técnicas que hemos ido desarrollando a lo largo de este artículo. Dicha demostración sigue así:
Ejercicios.
Demostrar las siguientes equivalencias con las operaciones descritas en esta lectura:
Ejercicio. Comprobar que no se cumple la propiedad asociativa en la diferencia de conjuntos.
Y con esto concluyo este artículo.
Muchas gracias.
