Como profesor de matemáticas voy a hablar sobre cuándo una función es creciente o decreciente. Para empezar, la medicina actual emplea técnicas de diagnóstico no agresivas, es decir, se puede dictaminar ciertas patologías sin tener que operar y ver en el propio órgano la lesión que puede tener. En las matemáticas sucede lo mismo: podemos saber si una función Crece o Decrece, sin realizar la gráfica; esta técnica nos la da el Análisis Infinitesimal.
En particular, el estudio de la llamada Monotonía de una función, se realiza con la Derivada primera de la función. Y es que, la Derivada de una función nos da la pendiente, la inclinación, que tiene la curva en cada punto de ella. Si esta derivada es cero, la pendiente será cero y la recta tangente a la curva en ese punto será horizontal. Si la derivada es positiva, el ángulo de la recta tangente con la horizontal estará entre 0º y 90º, y diremos que la función es Creciente. Por el contrario, será Decreciente, cuando la derivada sea negativa.
Entonces, el método de estudio de la Monotonía de una función es:
1) Se halla la derivada de la función.
2) Se realiza una tabla de signos por intervalos.
Estos intervalos se consiguen anulando el numerador y el denominador, (y por separado), a cero, y resolviendo las ecuaciones, tendremos los puntos extremos de los intervalos, en los que estudiaremos el signo de la derivada.
Ejemplos para saber si una función es creciente o decreciente
EJEMPLO 1. Determinar el Crecimiento y Decrecimiento(Monotonía) de la función y = f(x) = x^3 -6 x^2 + 9x - 8
1) Hallamos la derivada y´= 3 x^2 - 12x + 9
La igualamos a cero 3 x^2 - 12x + 9 = 0 y resolviendo nos sale x = 1 , x = 3
2) Realizamos una tabla de signos (-infinito, 1) (1,3) (3, infinito)
x - 1 - + +
x - 3 - - +
Signo y´ + - +
y = f(x) Crec. Decrec. Crec.
EJEMPLO 2. Estudiar la monotonía de la función y = f(x) = (x^2 - 4) / (x - 1)
1) Hallamos la derivada y´= (2x(x - 1) - (x^2 - 4)) / (x - 1)^2 Tenemos que simplificarla*
y´= (x^2 - 2x + 4) /(x - 1)^2
Igualamos a cero el numerador x^2 - 2x + 4 = 0 implica x no es real, sale raíz de -12
Igualamos a cero el denominador (x - 1 )^2 = 0 implica x = 1
2) Realizamos una tabla de signos (-infinito, 1) (1, infinito)
x^2 - 2x + 4 + +
(x - 1)^2 + +
Signo y´ + +
y = f(x) Crec. Crec.
Pues así, de esta manera analítica, sin dibujar la curva, sabemos con total precisión y seguridad el Crecimiento y Decrecimiento de cualquier función. * Los alumnos consiguen bien la derivada; pero al simplificarla tienen más dificultades.
