Todos sabemos lo que son las líneas continuas en una carretera, que no podemos rebasar al adelantar a un vehículo. Su trazado es continuo, sin saltos.
De la misma manera una función es Continua si podemos dibujarla sin levantar el bolígrafo del papel. Si nos dan la representación de la función, podemos observar en qué puntos o intervalos es continua o discontinua. Pero si nos dan tan sólo la función, y = f(x) ¿cómo podemos saber dónde es continua?.
Son tres cosas las que tenemos que analizar, para saber si una función y = f(x) es continua en un punto x = a.
1) Tiene que existir la función en ese punto, pues de lo contrario si no está definida no podemos añadir una cualidad(la continuidad) a una cosa que no existe. Es decir el valor que toma la función al sustituir la x por el número a debe ser un número real.
Así si y = f(x) = 1/x y hallamos f(0) = 1/0, no es un número real, no existe la división entre cero. Si lo hacemos en la calculadora sale ERROR. Por tanto esta función no puede ser continua en x = 0, pues esta primera condición no la cumple.
Si y = f(x) = x / (x - 1) , para x = 0 nos quedaría f(0) = 0 / -1 = 0, que es un número real, por lo que cumpliría la condición de existencia. Sin embargo en x = 1, tendríamos f(1) = 1/0 que no es número real, por lo que no sería continua en x = 1.
2) Tiene que existir el límite de la función en ese punto. Esto quiere decir que cuando nos aproximamos al punto, tanto por la derecha como por la izquierda, se tiene que producir un empate, unos valores iguales, una unión en la función, sin saltos.
Así, en la función definida por dos trozos: y = f(x) = x - 1 si x menor o igual a cero
= x + 1 si x mayor que cero
si hallamos el límite cuando x tiende a cero, tendremos:
Si nos aproximamos a cero por la izquierda lim (x - 1) = - 1
Si nos aproximamos a cero por la derecha lim (x + 1) = 1
Como son distintos estos límites laterales, decimos que no existe el lim f(x) cuando x tiende a 1. La función no cumple esta condición. No será continua en x = 0.
3) f(a) = lim f(x) cuando x tiende a a. Es decir los dos valores conseguidos en 1) y en 2) tienen que ser iguales.
Así la función y = f(x) = x^2 - 1 si x es menor o igual que -1
x + 1 si x es mayor que -1 es continua en x = - 1 ya que:
1) f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0
2) lim (x^2 - 1) cuando x tiende a -1 por la izquierda es (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0
lim (x + 1) cuando x tiende a -1 por la derecha es (-1 + 1) = 0 qu al ser iguales existe el limite y vale cero.
3) Vemos que f(-1) = lim f(x) cuando x tiende a -1
Por tanto f(x) es continua en x = -1
La Derivabilidad de una función en un punto es saber si existe la Derivada en ese punto, es decir, se puede construir una recta tangente en ese punto, tanto por la izquierda como por la derecha. La función en el punto a estudiar debe ser continua y además no presentar un "pico", lo que llamamos en matemátcas punto anguloso.
Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.
Si un función es continua en un punto no implica que sea derivable en ese punto.
Si no es continua en un punto implica no derivable en ese punto.
Si no es derivable en un punto no implica que sea no continua en un punto.
EJEMPLO 1. La función y = f(x) = ixI llamada valor absoluto de x, "tejado Invertido" y definida por y = f(x) = - x si x es menor o igual a cero
= x si x es mayor que cero
es continua en x = 0, y no derivable en x = 0 .
Pruébese la continuidad por el lector.
La derivabilidad en x = 0 Por la izquierda de cero y´(0) = - 1
Por la derecha del cero y´(0) = 1
Las derivadas laterales son distintas, hay diferentes pndientes en x = 0, en el pico, por lo que no existe la y´(0), es decir no es derivable en ese punto.
EJEMPLO 2. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función y = f(x) = x^2 en x = 2
Como y´(x) = 2x y´(2) = 4 tanto por la derecha como por la izquierda. Entonces es derivable y por tanto es continua. La representación de y = x^2 es una parábola de ramas ascendentes y vértice en (0,0)
