DETERMINACIÓN DE UN PLANO EN EL ESPACIO
Un plano en el espacio viene determinado por un punto, y dos vectores linealmente independientes. Plano (A, u, v) o bien por tres puntos del Plano, A, B y C o por un punto del Plano y un vector perpendicular al plano (A, n). Supongamos la primera determinación.
A(x1, y1, z1,) u(u1, u2, u3), v(v1, v2, v3) y X(x, y, z) un punto genérico del plano.
ECUACIÓN VECTORIAL DEL PLANO
Construimos los vectores de posición a(OA), x(OX) y también AX
Vectorialmente se verifica que x = a + AX
Pero AX = c u + d v, al ser u y v linealmente independientes en el plano, con c y d números reales. (1)
Entoces, sustituyendo nos queda x = a + c u + d v que es la Ecuación Vectorial del Plano.
Expresada en coordenadas, nos queda (x, y, z) = (x1, y1, z1) + c(u1, u2, u3) + d(v1, v2, v3)
Ejemplo 1. Hallar la ecuación vectorial del Plano que pasa por el punto A(1, -2, 3) y tiene de vectores directores u(1,5,2) v(-3,0, 4)
Tendremos el Plano (x, y, z) = (1, - 2, 3) + c(1, 5, 2) + d(-3, 0, 4)
Ejemplo 2. Hallar la ecuación del Plano que pasa por los puntos A(2, 1 ,3) B(-1,3,1) y C(-3, 0,4)
Tenemos un punto, por ejemplo A(2, 1, 3) y dos vectores directores del Plano, AB y AC
AB =( -1 - 2, 3 - 1, 1 - 3) = (- 3, 2, - 2) AC = (- 3 - 2, 0 - 1, 4 - 3) = (- 5, - 1, 1)
Por tanto el Plano será (x, y, z) = (2, 1, 3) + c(-3. 2, - 2) + d(- 5, -1, 1)
Ejemplo 3 Hallar puntos del Plano anterior
Damos valores reales para c y d
Para c = 1 y d = 2 nos queda (x, y, x) = (2. 1, 3) + (- 3, 2, - 2) + ( -10, - 2, 2) = ( - 11, 1, 3)
Para c = 2 y d = 0 nos queda (x, y, z) = (2, 1, 3) + (- 6, 4, - 4) = (- 4, 5, - 1)
Y así sucesivamente.
ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO
De la ecuación vectorial (x, y, z) = (x1, y1, z1) + c(u1, u2, u3) + d(v1, v2, v3) tenemos:
x = x1 + c. u1 + d. v1
y = y1 + c. u2 + d. v2
z = z1 + c. u3 + d. v3 que son las ecuaciones paramétricas.
Dando valores a c y d, obtenemos puntos del Plano.
Ejemplo 4. Hallar las ecuaciones paramétricas del Plano que pasa por el origen de coordenadas y tiene de vectores directores u(0, - 1, 2) y v(-3. 0, 1)
x = - 3d
y = - c
z = 2 c + d
ECUACION GENERAL DEL PLANO
Tenemos que saber que un determinante con filas o columnas linealmente dependientes es cero. Tomamos tres vectores del plano, que serán linealmente dependientes.
(x - x1, y - y1. z- z1), (u1, u2, u3), (v1, v2, v3)
Formamos el determinante I x - x1 y -y1 z- z1 I
I u1 u2 u3 I = 0
I v1 v2 v3 I
desarrollando llegamos a Ax + By + Cz + D = 0
Ejemplo 5 Hallar la ecuación general del plano que pasa por A(1, 2, 1) y tiene de vectores directores u(-1,3,1) v(2,3, 0)
Tres vectores del Plano son (x - 1, y - 2, z - 1) u y v
Con ellos formamos el determinante e igualamos a cero, resultando 3x -y +3z - 4 =0
Ejemplo 6. Hallar la ecuación del Plano que pasa por el punto A (1, -1, 2) y contiene a las rectas r: x = 0, y = - t, z = 2t s: 5 + t, y = 3 + 3t, z = 2 + 2t
Dos vectores de esas rectas están en el Plano, y son u( 0, - 1, 2), v(1, 3, 2)
Por tanto ya podemos formar la ecuación del Plano. con el detrminante de filas: x -1 y + 1 z - 2
0 - 1 2 y 1 3 2, lo igualamos a cero y resolviendo sale 8x - 2y - z - 8 = 0
Ejemplo 7. Hallar la ecuación del Plano que pasa por el origen y contiene a la recta r: x = 2z - 1 y = z - 2
La recta r viene dada como intersección de dos planos. Tenemos que hallar un vector director. Para ello pasamos a paramétricas, haciendo z = t y nos queda y = - 2 + t, x = - 1 + 2t, por lo que un vector director es u( 2, 1, 1) que estará en el Plano. Otro vector del plano será OX, es decir (x, y, z). Como un punto de r es A(- 1, - 2, 0), otro vector del plano es OA (- 1, - 2, 0)
Formamos el determinante con esos tres vectores e igualamos a cero. Desarrollando nos queda el Plano 2x - y - 3z = 0
(1) Normalmente se utilizan como parámetros las letras griegas lambda y mu, en vez de c y d.
