Cualquier estudiante de álgebra se encontrará tarde o temprano con los Espacios Vectoriales. Este concepto aparece a lo largo de toda la materia y es importante tener una idea bien clara de qué son y qué propiedades y características tienen.
Para empezar, diremos que los espacios vectoriales (lo abreviaré EV a partir de ahora) son conjuntos formados por objetos matemáticos a los que llamamos vectores, que se relacionan entre ellos y con otro conjunto de escalares (o sea, números) por medio de dos operaciones a las que llamaremos “suma” y “producto” y representaremos con los símbolos clásicos para esas operaciones, es decir, “+” y “.”, respectivamente.
Tenemos entonces cuatro elementos en un EV: el conjunto de vectores, llamado genéricamente V, el conjunto de escalares, al que llamaremos K, la suma y el producto.
EV = (V, +, K, . )
Para que esos cuatro objetos formen un EV, deben cumplir una serie de propiedades, que enumeraré a continuación:
- La suma de vectores debe ser cerrada. Esto significa que la suma de dos vectores de V, debe dar como resultado otro vector de V.
- El producto de un escalar por un vector debe ser cerrado en el conjunto de vectores. Es decir, si se multiplica un número perteneciente a K por un vector de V, debe dar como resultado otro vector de V.
Propiedades de la suma:
- Es conmutativa. El orden en que se suman los vectores no afecta al resultado.
u + v = v + u
Es asociativa. Los vectores se pueden agrupar sin afectar al resultado.
- (u + v) + w = u + (v + w)
· Existe elemento neutro. Esto significa que hay un vector tal que, al sumarlo a otro vector cualquiera, no lo modifica. Sería una especie de “cero”. A ese vector, si existe, lo llamamos “vector nulo” y se lo representa, en forma genérica, con la letra "e". Decimos entonces que existe e tal que v + e = v.
- Existe elemento opuesto. Es decir, para cualquier vector v, existe otro vector dentro del conjunto V, tal que al sumarlo a v, da como resultado el vector nulo. Ese vector se escribe -v. Y se cumple siempre que v + (-v) = e.
Propiedades del producto:
- Es asociativo. Si a y b son números que están en K y v es un vector de V, entonces se cumple que a . (b . v) = (a . b) . v
- Existe elemento neutro. Al igual que para la suma, se trata de un elemento que, al multiplicarlo por un vector, no lo modifica. En la mayoría de los casos, se trata del número 1.
Propiedades de las dos operaciones:
- Propiedad distributiva respecto de la suma. Es decir, un número multiplicado por una suma de vectores se distribuye de manera que queda multiplicando a cada uno de los vectores.
a . (u + v) = a . u + a . v
- Propiedad distributiva respecto de la suma de números. En este caso es al revés, hay una suma de números multiplicada por un vector. Se distribuye de manera que cada número queda multiplicado por el vector.
(a + b) . v = a . v + b . v
Un ejemplo de conjunto que cumple con todas esas propiedades, que no demostraré aquí, es el de los vectores de R2, relacionados con la suma habitual de vectores y los números reales, relacionados con los vectores con el producto habitual.
Es decir, el EV (R2, +, R, . )
En este conjunto, por ejemplo, tenemos:
Elemento neutro: (0, 0)
Opuesto de cualquier vector (a, b) es (-a, -b)
Se deja como actividad la demostración de cada una de las 10 propiedades. En el próximo artículo, seguiremos viendo espacios vectoriales y lo más interesante que hay para decir sobre ellos: los subespacios.
