INTRODUCCIÓN
El problema surge cuando se quiere alquilar un coche, por un cierto periodo y recorrido.
El coste del alquiler depende de los días de disposición del vehículo y de los kilómetros que se va a recorrer. Y cada compañía nos ofrece un precio, dependiendo de estos dos parámetros. Nuestro problema consiste en elaborar un cuadro de precios, para cualquier tipo de alquiler.
Vamos a suponer que hacemos el estudio comparativo de los precios de tres compañías A, B y C, para un alquiler de una semana.
FUNCIONES COSTE
La empresa A cobra 2€ por día y 0´5€ por kilómetro recorrido.
La empresa B cobra 25€ por día y kilómetros ilimitados.
La empresa C cobra 10€ al día y 0´2 € por kilómetro recorrido.
Si el alquiler se hace por una semana y x es el número de kilómetros recorridos, tendremos:
Ca = 14 + 0´5 x Cb = 175 Cc = 70 + 0´2 x
Son funciones lineales, por lo que la representación serán rectas.
REPRESENTACIÓN
Se dibujan los ejes de coordenadas, tomando en el eje OX los kilómetros, con unidad de 2cm equivalentes a 100 km. Y en el eje OY el coste en euros, con unidad de 1,5cm equivalente a 100€. El profesor empleará proporcionalmente la pizarra, aunque aconsejamos que elabore una TDP(*) de este problema.
Como son rectas, tan sólo obtenemos dos puntos, para representarlas.
Para Ca = 14 + 0´5 x, tomamos x = 0, que nos da Ca = 14. Punto (0, 14). Para x = 500, nos sale Ca = 264, Punto (500, 264). Y dibujamos la recta Ca, en color azul.
Para Cb = 175, que es una función constante tenemos (0, 175) y (500, 175). Al dibujarla tiene que salir paralela al eje OX. Lo hacemos en color rojo.
Para Cc = 70 + 0´2 x, tomamos x = 0, que nos da Cc = 70, Punto (0, 70). Y para x = 500, nos queda Cc = 170, punto (500, 170). Y dibujamos la recta que pasa por esos dos puntos, en color verde.
En el dibujo adjunto aparece las tres rectas, que vemos se cortan en tres puntos, llamados de ruptura (Break point), que notamos por P, Q, R.
CÁLCULO ANALÍTICO DE LOS TRES PUNTOS DE RUPTURA P, Q, R
Cálculo de P. Tenemos que resolver el sistema formado(ver figura) por Ca = 14 + 0´5 x
Cc = 70 + 0´2 x
Lo resolvemos por igualación, a saber: 14 + 0´5 x = 70 + 0´2 x implica 0´5 x - 0´2 x = 70 - 14 es decir 0´3 x = 56, por lo que x = 56/0´3 = 186,7. Punto P (186´7, 107´35).
Cálculo de Q. Tenemos que resolver el sistema formado por(ver figura) Cb = 175
Ca = 14 + 0´5 x
Lo resolvemos por igualación, 14 + 0´5 x = 175, implica 0´5 x = 175 - 14, implica x = 322, por lo que nos sale Q (322,175).
Cálculo de R. Resolvemos el sistema: Cb = 175
Cc = 70 + 0´2 x
Por igualación 70 + 0´2 x = 175 implica 0´2 x = 175 - 70 implica x = 525, R (525, 175)
Estos son los tres puntos críticos que nos van a resolver el problema y hacernos ver, que dependiendo de los kilómetros recorridos, nos interesa más alquilar el coche en una compañía que en otra.
CONCLUSIÓN DE RESULTADOS
Observando la gráfica, vemos que:
Si x < 186,7 km la empresa que da el mejor precio es la A, después la C, y por último la B.
Si 186´7 < x < 322 km, la empresa de mejor precio es la C, seguida de la A y después la C.
Si 322 < x < 525 km, la empresa que da el mejor precio es C, seguida de B, y por último A.
Si x > 525 km, la empresa de mejor precio es B, seguida de C y de B.
ASTUCIA MATEMÁTICO EMPRESARIAL
Habida cuenta que suele haber muchas más compañías, y que suelen estar ubicadas próximas unas de las otras, y la demanda de alquiler de coche es alta, se nos ocurre poner una empresa asesora de los mejores precios. Para ello tendremos elaborado un estudio gráfico y analítico, tal como el propuesto. Y cobraremos un módico precio por el asesoramiento al cliente, que se verá desbordado por tantas ofertas. y además en consecuencia al número de kilómetros que va a recorrer.
Por ejemplo, nos entra un cliente que nos dice que va a recorrer unos 450 km. Le asesoraremos, al momento, que la empresa que ofrece el mejor precio es la C, seguida de la B y por último la C. Y nuestro emolumento de asesor, digamos que es de 1€. Al final del mes creemos que la empresa asesora tendrá el mejor beneficio de todas, ya que sus costes son muy bajos, en comparación a las de alquiler. ¡Paradojas matemáticas! Y respuesta a la pregunta de los alumnos ¿Y las matemáticas para qué sirven? será clarificadora.
NIVEL DE IMPARTICIÓN
El estudio de la representación de rectas, y resolución de sistemas lineales 2-2 se realiza en profundidad en 3º ESO, por lo que podemos plantear este tipo de problema, como aplicación práctica y real. Y desde mi experiencia resulta muy motivadora para los alumnos.
Se emplea una sesión de clase, con previo aviso a los alumnos, para que dispongan de los útiles básicos de dibujo.
(*)MEJORAMIENTO CON TRANSPARENCIA DIDÁCTICA PARTICIPATIVA
Aconsejamos al profesor que elabora una TDP de este ejercicio, pues las gráficas estarán bien construídas, los puntos de ruptura bien señalizados, los colores descritos, intersecciones y resultados, estando suelto en clase y atendiendo a las preguntas de los alumnos, y sin el agobio de salir mal los dibujos de las rectas, que enturbiarán la explicación.
Y para ello creará las siguientes superposiciones en acetatos individuales:
BASE En ella aparece los ejes de coordenadas, con las unidades marcadas y en las mismas medidas indicadas anteriormente.
SUPERPOSICIÖN 1 Se da la función Ca, explicando verbalmente su obtención, a partir del enunciado; se indica que es una recta. Y también aparece , y sin explicitar la Cb y Cc, para que el alumno las defina analíticamente.
SUPERPOSICIÓN 2 Se muestran las funciones Cb y Ca, resolviendo dudas. Todo ha de hacerse con pausas, para que el alumno vaya resolviendo a la par.
SUPERPOSICIÓN 3 En ella aparece la gráfica de Ca. Antes de mostrtarla, se insta a los alumnos que la dibujen, tomando los dos valores de la x, antes descritos. Los alumnos la confrontan con su gráfica. Es conveniente el uso de calculadora. Y se les pide la gráfica de Cb.
SUPERPOSICIÓN 4 En este acetato hemos dibujado la función constante Cb, que mostramos una vez que la hayan representado los alumnos. Y se les pide la representación de Cc.
SUPERPOSICIÓN 5 Es la gráfica de Cc, mostrada después que los alumnos la dibujen. Se les pide que punteen bien los tres puntos P, Q y R, de izquierda a dertecha, donde se cortan las tres funciones.
SUPERPOSICIÓN 6 Se muestran los tres puntos de ruptura. Se les explica lo necesario que es hallar sus cordenadas, especialmente la abscisa, para delimitar las cuatro zonas que nos van a dar la clave para la resolución. Y que consigan analíticamente esos valores, con la resolución de sistemas. Primeramente el punto P.
Mostraremos, si queremos centrar mejor la atención, solo las Superposiciones Base, 1,2,3 y 5, en las que aparecen la Ca y Cc, en cuya intersección está el punto P.
La resolución de este sistema de dos ecuaciones se hace en la pizarra, no en transparencias, indicando el método aplicado y dando libertada al alumno para la utiización de otro método distinto. Se confrontan los resultados. Y en la misma forma se calculan Q y R.
SUPERPOSICIÓN 7 Junto con las anteriores aparece esta, mostrando las abscisas de los puntos P, Q y R, que van a ser la clave para obtener la tabla de información y asesoramiento.
Se señalan las zonas, o intervalos abiertos y se comparan los precios de las tres empresas, viendo las de cobro de menor a mayor. Y se realiza el cuadro de asesoramiento, según los kilómetros que el cliente estima realizar en esa semana de alquiler de coche.
Y se realizan preguntas, haciendo el profesor de cliente y algún alumno asesorándolo, o entre los propios alumnos.
La implicación de los alumnos me hizo repetir y preparar más casos en otros cursos, y en todas resultaron motivadores, trabajando en la clase la resolución del ejercicio.
He de decir que disponía de Aula de profesor Acondicionada, con pantalla adecuada para el retroproyector y pizarras de rotuladores, lo que facilita enormemente las explicaciones, al tener las TPD elaboradas previamente.
