Si has arribat a aquesta entrada de blog, és perquè estàs buscant exercicis de matemàtiques per a batxillerat. La meva recomanació, si tens dubtes o no te'n surts per la seva dificultat, és que demanis ajuda a un professor particular de matemàtiques.
Trigonometria
1. Simplifica al máxim les expressions següents:
- 2 − 2sin2θ cos2θ
- sinθ + sin3θ
- (1 − cos2θ)/sin2θ
- 3cosθ − cos(−θ)
- 3sinθ + sin(−θ)
- sinθ + cos(π/2 − θ)
2. Factoritza les expressions següents:
- 1 − sin2θ
- 2cos2θ + 7cosθ + 3
- tan2θ + 5tanθ + 6
3. Resoleu l'equació següent:
- 2sinθ + cosecθ = 3
4. (Potser, només si coneix les identitats dels angles dobles) Simplifica les expressions següents:
- cos(2θ) + 2sin2θ
- tan(2θ)
Funció exponencial
1. Factoritza les expressions següents:
- 4x − 25, 4x − 14(2x) + 49
2. Resol les equacions següents:
- 4·3x+2 = 12.
- 5·(1/2)x−3 = 20
- 4x−2x−2 = 0
- 4x+2x+1/2 = 4 2
3. Respon les següents preguntes:
Un conegut virus esparceix en una escola. El numero de persones afectades per dia es té a raó de N = 4 · (1.332)d, d ≥ 0.
a. Trobar el numero de persones infectades inicialment.
b. Trobar el nombre de persones infectades al cap de 16 dies.
c. Hi ha 1200 persones a l’escola. Fer una estimació del temps que trigarà a contagiar-se tothom.
Clases particulares de matemáticas
Logaritmes
1. Calculeu els logaritmes següents sense fer servir la calculadora:
- log21024 log3(1/81) log10000000 ln e2 e−4
2. Demostreu que
- log5000 = 4 − log2
- log(1/8) = −3log2
3. Escriviu com un sol logaritme o com un sol enter
- 5log2 + log3
- 3 − log2 − 2 log 5
- log4 − log2
- log3 + log 81
4. Troba la x si
- ln x = 3
- ln x = 1
- In x = −5
5. Resol per x les següents operacions:
- log327 + log3(1/3) = log3x
- log x + log(x + 1) = log(30)
6. Fes servir la regla de canvi de base per trobar x en els casos següents: log9 (x3) + log3√x = 8
- log3(x3) − 4log9x − 5log27√x = log94
- logx 4 + log2x = 3
7. Calculeu el valor de x sense fer servir la calculadora
- log24 = log3 + xlog2
- logx + log(x + 1) = log30
- log(x + 2) − log(x − 2) = log5
- e2x = 2ex... ex + 2 = 3e−x
8. Responeu la següent pregunta:
Una població de conills té un nombre d’individus N = 4 · (2.5)t on N és el nombre de conills que han nascut i t el temps en anys. Suposem que no es mor cap conill. Quants anys trigarà el conjunt a arribar als 2000 conills?
Nombres complexos
1. Resoleu les equacions següents:
- x2 + x + 2 = 0
- x2 − 10x + 29 = 0
2. Doneu el producte, la suma i la divisió de les següents parelles de nombres complexos:
- z1 = 2 + 3i, z2 = 4 + i
- z1 = 12 + 21i, z2 = i
3. Expresseu el 5 com a identitat notable de dos nombres complexos. 4. Escriviu el conjugat dels nombres complexos següents:
- z1 = 23, z2 = 6 + 4i, z3 = 9i
5. Expresseu en forma polar i en forma trigonom`etrica els complexos següents:
- z1 = 3 + 4i z2 = 1 + i z3 = 9 + 5i
6. Trobeu nombres reals tals que
- 2x + 3yi = −x − 6i
- (x + yi)(2 − i) = 8 + i
- (3 + 2i)(x + yi) = −i
7. Trobeu tots els nombres complexos z tals que z6 = 1.
Clases particulares para bachillerato
Polinomis
1. Per cadascun dels polinomis següents, indiqueu el grau, el terme líder i el terme independent:
- P(x) = 2x8 + 6x2y3 + 5x5y5 + 7
- Q(x) = (2x + 3)(3x + 2)
2. Troba la suma, la diferència i el producte dels polinomis següents dos a dos:
- P(x) = x + 3
- Q(x) = x2 + x + 1
- R(x) = 7x + 24
3. Comprova o desmenteix que
- 8 és un zero de x2 − 7x − 8.
- 7 és un zero de 9x2 − 8x + 10.
- 8 és una arrel de 7x2 − 60x + 32 = 0.
4. Feu les divisions de polinomis següents tot indicant el quocient i el residu:
- (x2 + 2x − 3)/(x + 2)
- (2x3 + 6x2 − 4x + 3)/(x − 2)
- (2x4 − x3 − x2 + 7x + 4)/(2x + 3)
- (x2 − a2)/(x − a)
5. Factoritzeu els polinomis següents:
- P(x) = x2 + 5x − 6
- Q(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6
6. Trobeu la constant k i factoritzeu el polinomi 2x3 + x2 + kx − 4
si sabem que té el factor (x + 2).
