Dada una función y = f(x), se trata de obtener otra función, f^-1(x), llamada recíproca, de tal manera que f o f^-1 = = x. Esto quiere decir que estas dos funciones son simétricas, respecto a la recta y = x, bisectriz del primer y tercer cuadrante.
Así, la función inversa(*) de y = x + 1 será x = y + 1 implica y = x - 1, se observa :
A(0,1) -------------------------------- A´(1,0)
B( 1,2) ------------------------------- B´(2,1)
C(- 2,- 1) ---------------------------- C´(- 1,- 2)
Son puntos simétricos con respecto a la recta y = x, la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
MÉTODO DE OBTENCIÓN
Nos dan una función y = f(x) = (x- 3) / x
1) Intercambiamos las variables: x = (y - 3) / y
2) Despejamos la y: x.y = y - 3 implica x.y - y = - 3 implica y(x - 1) = - 3 implica y = - 3 / (x - 1) = g(x) es su función recíproca
f --------------------------- g
A(3,0) --------------------- A´(0.3)
B(1,- 2) ------------------- B´(- 2,1)
C(2,- 1/2) ----------------- C´(- 1/2, 2)
Si componemos f o g = x, siendo g la función recíproca f o g = f(g(x) = f( - 3 /(x - 1) =
= (- 3 /(x - 1) - 3) / (- 3 / (x - 1) = ((- 3 - 3x + 3) / (x - 1)) / - 3 / (x - 1) = - 3x / - 3 = x
Ejemplo 1. Hallar la función recíproca de y = f(x) = 1/(x, y comprobarla.
1) x = 1/y
2) Aislamos la y: x.y = 1 implica y = g(x) = 1/x que es su recíproca.
Vamos a comprobarlo: (f o g)(x) = f(g(x)) = f(1/x) = 1/(1/x) = x Comprobado
En este caso vemos que coinciden f y g, lo que nos quiere decir que si doblamos el dibujo por la bisectriz del primer y tercer cuiadrante, se superponen.
Ejemplo 2. Hallar la función recíproca de y = f(x) = (x + 2) / (x + 1)
1) x = (y + 2) / (y + 1)
2) x.(y + 1) = y + 2 implica x.y + x = y + 2 implica x.y - y = - x + 2 implica y(x - 1) = - x + 2 de donde y = g(x) = (- x + 2) / (x - 1), que es su recíproca.
Vamos a comprobarlo viendo puntos de ambas y su simetría respecto a y = x
f(x) g(x)
A ((- 2,0) -------- B´(0, - 2)
C (1 ,3/2) --------- C´(3/2, 1)
Ejemplo 3 Hallar la fubción recíproca de y = f(x) = 2^x
1) x = 2^y
2) Para despejar la y, tomamos logaritmos base 2: log x = log 2^y implica log x = y.log 2 despejando la y = log x / log 2 = log x / 1 = log x todo en base 2
Por tanto la recíproca es y = g(x) = log x, en base 2
Ejercicio 1. Hallar la función recíproca de y = f(x) = (2x - 3) / (x + 5)
Ejercicio 2. Hallar la función recíproca de y = f(x) = x^2
Ejercicio 3. Comprobar si y = f(x) = sen x y = g(x) = arcsen x son recíprocas
Ejercicio 4. ¿Es una función la recíproca de y = f(x) = 1?
Ejercicio 5. Hallar la función recíproca de y = f(x) = e^(x -1)
RESPUESTAS
1) y = g(x) = (- 5x - 3) / (x - 2)
2) No tiene recíproca porque Raiz (x), no es una función.
3) Si.
4) No, pues x = 1 no es una función.
5) y = g(x) = 1 + ln x
(*) Preferimos llamarle recíproca, ya que los alumnos está acostumbrados a llamar inversos de números, a aquellos que multiplicados dan la unidad.
