La mayoría de los alumnos saben bien, lo que es el valor absoluto de un número cualquiera. Es deci,r lo dejan igual si es positivo, y le cambian el signo si es negativo.
I- 4I = 4, I3I = 3, I0I = 0 No tienen problemas en calcularlo.
Pero si se trata de una variable IxI, ya no lo tienen tan claro. Suelen poner que IxI = x, pues la "ven" positiva, por lo que no hay por que cambiar el signo
Y al hacerles recapacitar, diciendo que la x puede tomar valores positivos y negativos, empiezan a reflexionar, pero difílmente llegan a la definición, ponerla como una función a trozos.
- (x) si x < 0 IxI =
x si x>= 0
Y al hacer que intoduzcan números en la x, ven que se obtiene lo que ellos sabían, se convencen de la definición.
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO DE X, y = f(x) = IxI
- (x) si x < 0 y = f(x) = IxI =
x si x>= 0
Representación
Es una función con dos trozos de rectas. Por tanto tan sólo damos dos valores a la x. para cada uno de los trozos, o zonas o intervalos.
para x = - 2, (zona de arriba) y = -(- 2) = 2 Punto (- 2, 2)
Tenemos que saber su final, a dónde llega, dentro del intervalo (-infinito,0) .Para ello decimos, que "Si tomásemos el cero", desembocaría en 0, pero con un agujero, pues no lo podemos tomar propiamente. El punto agujereado sería el (0,0). Y trazamos la recta, saliendo la bisectriz del segundo cuadrante. Es el llamado punto anguloso.
Ahora nos vamos al otro trozo, el intervalo (0, infinito) incluído el cero. Si x = 0, y = 0. Sale el punto (0,0), que representamos, rellenando el agujero. Damos otro valor, por ejemplo x = 1 , y obtenemos y = 1. Punto (1, 1). Y dibujamos la segunda recta que será la bisectriz del primer cuadrante.
DOMINIO DE DEFINICIÓN
Esta función está definida en todo R D = R
RECORRIDO
Img f = (- infinito, 0) incluído el cero.
CORTE CON LOS EJES
En el origen de coordenadas (0,0)
SIMETRÍA
Presenta simetría con relación al eje de ordenadas, pues f(- x) = f(x)
CONTINUIDAD
Continua en R
ASÏNTOTAS
No tiene
DERIVABILIDAD
- 1 si x < 0 y´=
1 si x >= 0
como y´(1 -) = -1 y´(1+) = 1 no es derivable en x = 1 Hay punto anguloso (0,0)
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
La primera condición para que lo haya es que y´= 0, que vemos no ocurre, cualquiera que sea la x. No hay.
MONOTONÍA
Como en (- infinito, 0) y´< 0, la función es decreciente.
Como en (0, infinito) y´> 0 la función es creciente.
CURVATURA
0 si x < 0 y´´ 0 si x >= 0
La función no presenta curvatura, ni puntos de inflexión.
Ejemplo 1 Estudiar y representar la función y = f(x) = Ix - 2I
Queda definida así: - x + 2 x < 2 y = f(x) = x + 2 x <= 2
El estudio es similar, teniendo el punto anguloso en (0,2)
En su representación, se observa que es la misma función que la anterior y = IxI, desplazada dos unidades en el eje OX.
Por tanto las funciones y = Ix - aI son traslaciones de y = IxI a unidades en el eje OX
Ejemplo 2 Estudiar la representación de y = IxI + 2
- x + 2 x < 0 y = f(x) =
x + 2 x >= 0
Es la misma gráfica y = IxI trasladada dos unidades en el ej OY.
Ejemplo 3 Estudiar la representación de y = Ix + 1I - 3
- x - 4 x< - 1 y = f(x) =
x - 2 x >= - 1
Es la misma gráfica que y = IxI trasladando el punto anguloso al ( -1. - 3).
Ejercicio 1. Representar la función y = f(x) = Ix - 3I decir cuál es el punto anguloso.
Ejercicio 2. Representar la función y = Ix - 2I + 1 y decir cuál es el punto anguloso.
Ejercicio 3. representar en unos mismos ejes las funciones y = f8x) = IxI, y = g(x) = ix + 5I, y = h(x) = Ix - 4I - 3 y sacar conclusiones con los desplazamientos.
Para el estudio de estas funciones, se requiere que el alumno domine la representación de rectas y otras funciones simples. Y estar iniciado en la representación de funciones a trozos, por lo que aconsejo se explique en 4º de ESO, donde ya se explican los límites laterales de funciones a trozos.
