El puente colgante Golden Gate, situado en la bahía de San Francisco, Calfornia, es una de las estructuras de puentes, llamadas así porque el tablero de rodamiento se sustenta por tirantes de los dos cables o Catenarias, que está apoyada en dos torres.
Las torres tienen una altura de 277m, la longitud del tablero es de 2,7 km. y el vano entre las dos torres es de 1280m.
La distancia del tablero de rodamiento al nivel del mar (gálibo) es de 67m, por lo que el paso de cualquier barco es posible. El cable de la Catenaria tiene un diámetro de 1m, y está formado por numerosos entrelazados de cables, con un peso de 12000Tm.
Fue inaugurado en 1937, rompiendo la tradición de los puentes clásicos de numerosos apoyos y construcción masiva. El ingeniero director fue el germano americano Joseph Strauss, pero realmemnte el diseñador de la estructura fue el ingeniero Charles Alton Ellis, profesor en esta especialidad en la Universidad de Purdue, Indiana, que abandonó la obra por desavenencias con el director.
El tablero de rodamiento tiene seis carriles para coches, y otro para peatones y bicicletas.
Su mantenimiento es a diario, para preservarlo de la corrosión oxidativa, con pinturas especiales que le dan ese color rojizo.
En Matemáticas, la curva que describe los dos cables tensados y reposados en las dos torres, se llama Catenaria, siendo una función compleja que se estudia en las Escuelas Técnicas Superiores de Ingeniería de Caminos, o Ingeniería Civil.
Hay que situarse en esa época, 1937, donde no existían las computadoras, ni calculadoras, para hacerse una idea de los numerosos cálculos manuales que se debieron hacer, ayudados tan sólo de los logaritmos y de la regla de cálculo. De ahí el mérito: diseño y cálculo.
Podemos simular el cable, la Catenaria mediante una función a trozos, compuesta de dos hipérbolas y una parábola central, con simetria respecto al eje OY.
- 40 / x x <= - 10
y = f(x)= (0,04) x^2 + 1`5 - 10 < x < 10
40 / x x >= 10 Tomaremos en el eje OX cada unidad 0`8cm, y en el eje OY la unidad 1cm; emplearemos un folio DIN A4, centrando los ejes.
Aplicación didáctica 4º ESO
Los alumnos tienen que haber visto y practicado la representación de hipérbolas y parábolas, y estar un tanto iniciados con la construcción de funciones a trozos. La función representada es continua en todo R. Se hace insistencia en los puntos fronteras (- 10, 4) y (10, 4).
Dominio de definición: D = R En la realidad estará acotado en los puntos de amarre de la curva, (- 1350, 1350) pues el puente mide 2,7 km
Recorrido: Conjunto de valores de la y: (0, 4) con 4 incluído. Es la distancia del tablero a la cima de las torres.
Simetría con respecto al eje OY: f(x) = f( -x). Para el intervalo (- infinito, - 10), f(x) = - 40/x y hallando f( -x) = - 40/ - x = 40 /x, que se reproduce en (10, infinito). Para el intervalo central (- 10, 10), f(- x) = 0`04(- x)^2 = 0´04 x^2 = f(x). Por tanto hay simetría.
Puntos de corte con los ejes Con eje OY (x = 0) implica y = 0. Por tanto (0, 0) Con el eje OX (y = 0) Tanto - 40/ x como 40 / x no se pueden anular. Y en el trozo central dado por y = 0`04 x^2 , si lo igualamos a cero, nos sale y = 0. Por tanto sólo hay un punto de corte de la función con los ejes. El tablero hace de asíntota horizontal.
Características de la curva, sin análisis Creciente en (- infinito, - 10) U ((0, 10). Decreciente en ( - 10, 0) U (10, infinito). Concavidad hacia arriba en todo R. Presenta un mínimo en (0,0 ). La función es continua y acotada.
Aplicación didáctica 1º y 2º Bachillerato
Todo lo anterior se repasa, y además la estudiamos analíticamente:
Continuidad: Tenemos que ver que f(x) existe en D y es igual lim f(x) cuando x tiene a cualquier punto. El dominio es todo R, por tanto tenemos asegurada la existencia de la función. Además los límites también existen. Analizamos los dos puntos conflictivos, las fronteras de los trozos, x = -10 y x = 10.
lim - 40/x = -(- 40 /10) = 4 lim 0`04 x^2 = 4, por tanto existe el límite x--- - 10(-) x--- - 10(+)
y es igual a f(- 10) = - (- 40)/10 = 4 por tanto es continua en x = -10.
lim 0`04 x^2 = = 4 lim 40/x = 4, por tanto lim f(x) = f(10) = 4. Continua x--- 10(-) x--- 10(+)
Asíntotas: Horizontal lim f(x) = lim - 40/x = 0 lim f(x) = lim 40/x = 0 implica y = 0 A.H. x--- - infi. x--- - infi. x--- inf. x--- infi.
Vertical, no hay pues D = R . Oblicua tampoco, pues hay horizontal.
Monotonía Tenemos que hallar la función derivada y ver su signo, Si es positivo es creciente, si es negativo es decreciente.
40/x^2 x<= - 10 Positiva, implica Creciente.
y´= 0,08 x - 10 < x < 10
- 40/x^2 x>= 10 Negativa implica Decreciente.
Si - 10 < x < 0 y`< 0 Decreciente. Si 0 < x < 10 y`> 0 Creciente
Es decir f(x) Creciente en ( - inf., - 10) U (0, 10). Decreciente en (- 10, 0) U (10, inf.)
Extremos relativos La tangente a la curva ha de ser horizontal, es decir y`= 0. Si nos fijamos en la anterior derivada, la x tiene que ser cero, que es el candidato a extremo. Hallamos la derivada segunda:
- 80/ x^3 x <= - 10
y´´ = 0`08 - 10 < x < 10 y´´(0) = 0`08 > 0 Mínimo en (0,0)
80/ x^3 x> 10
Curvatura Hay que estudiar el signo de la derivada segunda. Si es positiva, la función será cóncava hacia arriba. Si es negativa, cóncava hacia abajo.
y`` > 0 en ( - inf.,- 10) U (- 10,10) U (10, inf.) Cóncava hacia arriba
Puntos de inflexión La y´´ ha de ser cero, y vemos que nunca puede serlo. No hay
Se confirman todos estos resultados con la gráfica de la función.
Derivabilidad Se trata de ver si se puede construir una recta tangente en todos los puntos de la curva. Intuitivamente vemos que en las fronteras x = - 10 y x = 10, no podemos. Lo analizamos mediante la derivada de la función, anteriormente hallada.
y_´(- 10) = 40 / 100 = 0´4 Es la derivada lateral por la izquierda.
y+´(- 10) = 0´08. (- 10) = - 0´8 Es la derivada lateral por la derecha. Y vemos que son distintas, por lo que decimos que no existe la derivada en x = -10, por lo tanto no derivable en x = -10
para x = 10 tendremos y´_(10) = 0´08.10 = 0´8
y´+(10) = - 40/ 100 = - 0´4 Por tanto no es derivable en x = 10
decimos que en (- 10, 4) y (10. 4) hay Puntos angulosos.
Previamente a la realización de esta función, simuladora de la Catenaria, se hará una proyección de puentes colgantes, dejando para el final el Golden Gate, que se puede mantener proyectado. Es un ejercicio a desarrollar en uno o dos periodos de clase, con utilización de útiles de dibujo, escuadra, cartabón, lápiz y goma, junto con regla milimetrada.
Por mi experiencia, esta gráfica resulta motivadora a la vez que prática para esos cursos.
Los alumnos complementarán después el dibujo de la función a trozos, con las torres, y las vigas soporte, y los más imaginativos, el mar.
