INTRODUCCIÓN
En todas las ferias que se montan en nuestras ciudades y pueblos, siempre existen ciertas casetas y juegos abarrotados de público, como por ejemplo, las tómbolas y el juego de los patitos, de la caña de pescar. En ellos se vocifera ¡Siempre toca, siempre toca!, ¡al niño le toca el pito, al militar las pelotas!
¿Y cómo se apañan los feriantes para obtener beneficios, repartiendo siempre y a todo jugador premios y algunos buenos, que lucen en sus mostradores?
Pues es lo que vamos a ver mediante unos ejemplos, estableciendo la llamada Esperanza matemática o Valor esperado.
ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO
Es el valor medio que tomará la variable aleatoria, al realizar un experimento gran número de veces. Se la desina por la letra griega Mu.
Llamamos Xi a la variable aleatoria, y Pi su probabilidad
Ejemplo 1. Nos ofrecen el siguiente juego. Se lanza un dado, si sale 2,o,3, o 5 ganas 1€. Si sale el 6 ganas 2€ y si sale el 1 o el 4 ganas 5€. La jugada vale 3€. Si este juego fuese muy solicitado por el público, y se jugase mucho, ¿obtendría ganancias el feriante?
Tendremos la función de probabilidad xi 1€ 2€ 5€
pi 3/6 1/6 2/6
Esperanza matemática E(xi) = Suma( xi. pi) = 1. 3/6 + 2. 2/6 + 5. 2/6 = 17/6 = 2´84
Esto nos quiere decir que, el feriante obtendría beneficios ya que el coste de la jugada 3€, es mayor que el valor esperado. Y esto lo saben los feriantes, sin haber estudiado ni probabilidad ni estadística; son saberes innatos de su profesión, aprendidos de generación en generación.
Ejemplo 2. Se lanzan dos monedas. Si salen dos caras ganas 5€; si salen dos cruces ganas 3€, y si sale cara y cruz ganas 1€. La jugada vale 2€. ¿Obtendría ganancias el feriante?
Xi 5 3 1
pi 1/4 1/4 2/4
Al lanzar dos monedas el espacio muestral es (cc, xx, cx, xc). Así p(cx o xc) = 2/4
Esperanza matemática = 5. 1/4 + 3.1/4 + 1. 2/4 = 1074 = 2´5
Por tanto el juego beneficiaría al jugador, y al final el feriante tendría pérdidas, cosa que jamás ocurre en auténticos profesionales de ferias.
Ejemplo 3. Se lanzan dos dados. Si salen dos números iguales ganas 10€; si la suma de lo que sale es superior a 7 ganas 5€; si sale el 1 y 6 ganas 4€. La jugada cuesta 1€. Hallar la esperanza matemática de este juego y conclusiones.
Al lanzar dos dados nos pueden salir 1-1, 1-2,...1-6; 2-1, 2-2,.........6-6
Son variaciones con repetición de seis elementos, agrupados de dos en dos VR6,2 = 6^2 = 36. Estos son los casos posibles.
P(dos nº iguales) = 6/36 P(suma>7) = 12/36* P( 1-6) = 2/36**
* Casos posibles 2-6, 6-2, 3-5. 5-3, 3-6, 6-3, 4-4, 4-5, 5-4, 4-6, 6-4, 5-5, 5-6, 6-5. 14 casos
** Casos posibles 1-6, 6-1 2 casos.
Xi 10 5 4
P 6/36 14/36 2/36
Esperanza matemática = 10. 6/36 + 5. 14/36 + 4. 2/36 = 138/36 = 3´84€
Esto quiere decir que el juego sería "justo" si tuvieras que pagar esa cantidad por jugar. Si la sobrepasa, el juego es favorable al que lo propone; si es inferior a 3,84€, entonces es favorable al jugador. Probablemente el que te lo propone te dice que jugar vale 5€.
Ejemplo 4. Se lanzan tres monedas. Si salen tres caras ganas 15€; si salen dos caras ganas 10€; si salen una cara ganas 5€. ¿A que precio mínimo ha de ponerse la jugada para que el que propone el juego obtenga beneficios?
Casos posibles VR 2,3 = 2^3 = 8
Casos posibls de tres caras CCC Uno
Casos posibles de dos caras CCX, CXC, XCC Tres
Casos posibles una cara CXX, XXC, XCX Tres
Xi 15 10 5
P 1/8 3/8 3/8
Esperanza matemática = 15. 1/8 + 10. 3/8 + 5. 3/8 = 60/8 = 7´5€
Por tanto ha de ser superior a 7,5€, para obtener beneficio.
Ejemplo 5. Un feriante del juego de la pesca de patitos, dispone de treinta patitos todos con premios. Uno de ellos lleva premio por valor de 10€; dos de ellos llevan 5€; tres de ellos llevan 2€, y el resto de patitos llevan premios por valor de 0´5€. Se trata de pescar un patito, por lo que pone la jugada, disponer de un caña de pesca, a 2€. ¿Le resultará el negocio rentable, siempre que participe muchos pescadores?
Xi 10€ 5€ 2€ 0´5€
Pi 1/30 2/30 3/30 24/30
Esperanza matemática = 10. 1/30 + 5. 2/30 + 2. 3/30 + 0´5. 24/30 = 38/30 = 1´27€
Por tanto al ser 2 > 1,27, sí obtendrá beneficios, pues el juego es favorable al feriante.
Son ejercicios motivadores en el estudio de probabilidad y que dan también respuesta a la pregunta de los alumnos ¿Y las matemáticas para que sirven?
Se deja al alumnado que propongan juegos al profesor o a otros alumnos, y se estudie conjuntamente el valor esperado.
