Comenzaré este artículo con un breve comentario sobre mi anterior publicación, pues si bien su objetivo es introducir algunas de las nociones más básicas sobre los conjuntos, muchos de los conceptos que allí se explican quedan sin mucha o ninguna justificación, lo cual no es el objetivo de esta serie. En este artículo busco dar pie al alumno a que pueda entender la razón que hay sobre esos conceptos.
Pues bien, empecemos:
Propiedad. Un conjunto puede ser un elemento de otro conjunto.
Si bien esta propiedad ya se había enunciado antes, conviene recordarla para formular la siguiente definición:
Definición. Para un conjunto A, definimos el conjunto potencia, o P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos del primero.
Un ejemplo sería, para el conjunto
A = {0, 1, 2}.
El conjunto potencia formado por los siguientes elementos:
P(A) = {<conjunto vacío>, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1, 2}}.
Teorema. Nótese que la cardinalidad del conjunto es el número de combinaciones sin orden que se pueden formar con los elementos del conjunto, o 2 ^ |A|, donde |A| es la cardinalidad de A. Ésto lo demostraré por inducción:
Demostración. Primero debemos demostrar que la cardinalidad del conjunto potencia del conjunto de cero elementos, el conjunto vacío, tiene cardinalidad 2^0. En efecto, dicho conjunto sólo contiene el conjunto vacío, que es un elemento.
Ahora estudiamos la cardinalidad del conjunto potencia del conjunto de n + 1 elementos: para ello, restamos el último elemento y estudiamos los subconjuntos que se pueden formar sin él. Por hipótesis de inducción, estos son 2^n subconjuntos disponibles.
Ahora observamos que los subconjuntos que se pueden formar, incluyendo el último elemento son el mismo número de subconjuntos que se pueden formar sin incluirlo, es decir, 2^n. La suma de ese número con el anterior es 2^(n+1), que es lo que queríamos demostrar.
Ahora bien, no podemos demostrar de la misma manera que cuando el conjunto original tenga como cardinalidad el infinito contable, la cardinalidad del conjunto potencia sea mayor que esta. Pues, por ejemplo, ya hemos podido comprobar que los racionales, aunque densos, son infinitos contables. Para ello necesitamos unas cuantas definiciones por ahora paralelas al camino que hemos estado tomando.
Definimos función, o aplicación, f: A → B a la 2-tupla, o par ordenado con elementos del primer componente del conjunto A (que llamamos dominio) y los elementos del segundo componente de un subconjunto de B (que llamamos codominio).
Propiedad. Si cada elemento del dominio está en el mismo par ordenado que un solo elemento del codominio, entonces decimos que la aplicación está bien definida.
Definición. Si la función es uno a uno, es decir, todos los elementos del codominio que están mapeados lo están con un solo elemento del dominio, decimos que es inyectiva.
Definición. Definimos como imagen el conjunto de elementos del codominio que están emparejados con al menos un elemento del dominio. Si el conjunto imagen es igual al codominio, entonces decimos que la aplicación es exhaustiva.
Definición. Una aplicación es biyectiva si es inyectiva y exhaustiva a la vez.
Dadas estas definiciones, podemos proseguir con nuestro objetivo principal:
Teorema. Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad si existe una aplicación biyectiva entre ellos.
Esto se puede comprobar fácilmente a través de las definiciones anteriores. Es decir, si una aplicación biyectiva une los dos conjuntos, eso implica que cada elemento del dominio está emparejado con uno y un solo elemento del codominio, y lo mismo pasa con los elementos del codominio. Lo que significa que tienen el mismo número de elementos.
Teorema. de Cantor. La cardinalidad de un conjunto es estrictamente menor que la cardinalidad de su conjunto potencia
Demostración. Primero, vamos a descartar que tenga una cardinalidad menor:
Ésto es fácil si mapeamos los elementos del conjunto original de la siguiente manera:
f: A → P(A)
x → {x}
Lo que significa que para cada elemento del conjunto original, existe un elemento del conjunto potencia que se puede emparejar con él.
Ahora descartamos que tengan la misma cardinalidad. Ésto es, debemos dar cuenta de que no existe ninguna aplicación biyectiva entre el conjunto A y su conjunto potencia.
Procedemos por reducción al absurdo y llamamos a dicha función g: A → P(A).
Definimos un subconjunto de A como
B = {x pertenece a A pero no pertenece a g(x)}
donde g(x) es un elemento de P(A), por tanto es un conjunto. El conjunto B podría bien estar vacío. Como B es un conjunto formado por elementos del conjunto A, pertenece a P(A).
Como g es exhaustiva, existe un b en el conjunto A tal que g(b) = B.
Ahora bien, si b está incluido en g(b), entonces al ser g(b) = B, b pertenece a B y, por la definición de B, b no pertenece a B, lo cual es una contradicción.
Por otra parte, si b no está incluido en B, tenemos que b no pertenece a g(b), pero por la definición de B, al pertenecer a A pero no pertenecer a g(b), entonces pertenece a B, lo cual también es una contradicción.
En ambos casos hemos llegado a un absurdo, y esto significa que una de las cosas que hemos asumido es falsa. Esto es, que existe una aplicación biyectiva entre A y P(A).
De esta forma concluimos que P(A) tiene una cardinalidad mayor que A.
Ahora volvamos al conjunto de los números naturales. Su cardinalidad es infinita contable. Pero la cardinalidad de su conjunto potencia es mayor que el infinito contable. También podemos observar que la cardinalidad del conjunto potencia del conjunto potencia de los naturales tiene una cardinalidad mayor que la del anterior conjunto potencia. Y así sucesivamente hasta formar una cadena infinita de infinitos cada vez más grandes.
Me gustaría concluir este artículo formulando y respondiendo una pregunta. Si bien existe el conjunto vacío, y una infinidad de conjuntos con cardinalidad infinita cada vez más grande, sería razonable preguntarse si existe el conjunto de todos los conjuntos, el cual por cierto sería el infinito más grande que conoceríamos, pues todos los elementos de infinitos conjuntos potencia estarían incluidos en él.
Supongamos, sin embargo, que el conjunto de todos los conjuntos existe. De esta forma, queremos formar el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. La paradoja reside en la siguiente cuestión: ¿Está el conjunto de todos los elementos que no se incluyen a sí mismos incluido en este conjunto?, pues, por una parte, si se incluye a sí mismo no estaría incluido en este, pero entonces al no estar incluido en sí mismo, pasaría a incluirse dentro, con lo cual dejaría de cumplir las condiciones para estar incluido en sí mismo.
Esto es, una de nuestras asunciones es falsa, y esta es que existe el conjunto de todos los conjuntos. Esta es la paradoja de Russel.
Ilustrado de otra forma, supongamos que tenemos el cuadro que tiene pintado en él, todos los cuadros que no se contienen a sí mismos. Este cuadro no cumple con las condiciones para estar pintado dentro, lo cual hace que no se incluya a sí mismo y que, por consiguiente, cumpla las condiciones para pintarse a sí mismo, lo cual hace que no pueda pintarse en él y así sucesivamente, formando la paradoja indicada anteriormente.
Y con esto concluyo este artículo. Muchas gracias.
