Una de las funciones que los alumnos estudian en 2º y 3º de ESO es la Parábola. Lo primero que hago es dar ejemplos de parábolas, tales como la trayectoria de un proyectil, la de un balón lanzado desde un corne, o un tiro a puerta a balón parado con el efecto maestro, la de la pelota en tiro al aro de baloncesto, el bote de una pelota, el caño de agua de una fuente, la trayectoria de un misil, etc. Y a continuación dibujos de párbolas, desechando las que no son funciones. Señalamos en ellas el punto más alto o el más bajo, que corresponde respectivamente al máximo y mínimo absoluto. que llamamos Vértice de la parábola. Insistimos que toda función polinómica de segundo grado es una parábola:
y = f(x) = a x^2 + bx + c
En ella a, b y c son números reales cualesquiera ( a distinto de cero), llamados:
a coeficiente del término de segundo grado
b " " " " primer grado
c término independiente
1º) El punto más importante de la parábola es el Vértice, que es lo primero que calculamos, aplicando x = -b / 2a. Obtenemos su y sustituyendo en la función. Lo representamos.
2º) Eje de simetría de la parábola, que es la recta vertical que pasa por el vértice, x = -b / 2a, lo dibujamos. Y decimos la ventaja que ofrece la simetría para la representación, pues obtenido un punto, automáticamente conocemos su simétrico.
3º) La concavidad de la parábola viene dada por el signo del coeficiente del térmimo de segundo grado a. Si a es mayor que cero las ramas son ascendentes. Si a es menor que cero, las ramas son descendentes.
4º) Tomamos un valor de x separado una unidad de la abscisa del Vértice, y calculamos su ordenada mediante la función. Lo representamos, junto con su simétrico. Se insiste en la situación de estos dos puntos con referencia a las ramas.
5º) Nos separamos otra unidad del eje de simetría y calculamos su ordenada. Lo representamos, así como su simétrico. Ya tenemos cinco puntos de la función, y la podemos representar.
Se insiste en la "derivabilidad" en el Vértice, es decir el poder construir una recta tangente en él, con pendiente cero. También en la prolongación de las ramas que se van abriendo.
También se pueden calcular anaíticamente los puntos de corte de la parábola con los ejes y comprobarlo en la gráfica.
EJEMPLO Estudiar y representar la función y = f(x) = - (x)^2 + 4x - 1
Es una función `polinómica de segundo grado, por lo que su representación es una parábola.
1º) Cálculo del vértice. Como a = -1, b = 4 Vx = -b / 2a = -4 / -2 = 2, que sustituído en la función dada Vy = -(2)^2 + 4.2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3
Por tanto el vértice está en V(2,3), que representamos.
2º) El eje de simetría es la recta vertical que pasa por el Vértice, x = 2. Lo representamos.
3º) Como a = -1 es menor que cero, las ramas son descendentes,y el Vértice ha de ser el máximo absoluto. Lo tendremos en cuenta para chequearlo.
4º) Tomamos x = 1, separado una unidad del eje de simetrtía. Calculamos su ordenada:
y(1) = -(1)^2 + 4.1 - 1 = -1 + 4 - 1 = 2. por tanto obtenemos (1,2)
Lo representamos, y también su simétrtico (3,2)
Observamos que caen más bajos del Vértice, que confirman el descenso de las ramas.
5º) Nos separamos otra unidad del eje de simetría x = 0, al que corresponde,
y(0) = -(0)^2 + 4.0 - 1 = -1
es decir (0, -1) pertenece a la parábola. lo dibujamos y también su simétrico (4, -1)
Los dibujamos. ya tenemos cinco puntos de la parábola, suficientes para su representación.
Cálculo de los puntos de corte con los ejes.
Con el eje OY (hacemos x = 0) y nos queda (0, -1) que lo observamos claramente en la gráfica.
Con el eje OX (hacemos y = 0) Es decir -(x)^2 + 4y - 1 = 0 y resolvemos esta ecuación de segundo grado, con la fórmula conocida: x = (-b +-(Raiz (b^2 - 4ac)) / 2a, y nos queda
x = (-4 +- Raiz (16 -4)) / -2, que nos da al simplificar x1 = 2 - Raiz 3 x2 = 2 + Raiz 3, que aproximadamente son los puntos A( 0´27, 0) y B( 3,73, 0) que podemos comprobar a groso modo en la gráfica.
La parábola es una de las funciones que debe dominar un alumno en 3º de ESO.
Es necesario ejercitarse en su representación. El profesor debe poner ejercicios en los que el Vértice sea localizable; me refiero a que no halla que reducir escalas, por estar dicho punto muy alejado. Esto es muy fácil de conseguir, ya que la forma de cuadrado perfecto nos da automáticamente el Vértice
Por ejemplo, queremos que el vértice esté en (p. q) y las ramas sean ascendentes. Formaremos la parábola así: y = f(x) = + (x - p)^2 + q
Así la parábola con vértice en (-3, 4) y ramas descendentes será y = -(x + 3)^2 + 4, que al desarrollar nos queda y = -(x`^2 + 6x + 9) + 4 = -(x)^2 - 6x - 5 y si hallamos el Vértice por la fórmula nos sale.
V(-2, -3) ramas ascendentes y = (x + 2 )^2 - 3 = x^2 + 4x + 1
V(0,4) ramas descendentes y = -(x - 0)^2 + 4 = -(x)^2 + 4
V( 3, -2) ramas ascendentes y = (x - 3)^2 - 2 = x^2 - 6x + 7
V(-1, 5) ramas descendentes y = -(x + 1)^2 + 5 = -(x)^2 - 2x + 4
V( 1/2, 3) ramas descendentes y = -(x - 1/2)^2 + 3 = -(x)^2 + x + 11/4
Y así serán "cómodas" de representar. Lo digo por experiencia, pues en un examen propuesto se eligió una parábola del libro de texto, resultando un vértice en el "quinto pino", y habíá que hacer una reducción de escala y cálculos farragosos, con lo cual no se podía evaluar si los alumnos sabían el tópico o no, pues se perdían en los cálculos. El resultado fue catastrófico, pues ningún alumno llegó a representarla.
Otra cosa es que queramos cerrar más las ramas. entonces aumentaremos el coeficiente de x^2. Por el contrario lo disminuiremos, poniendo una fracción.
Uno de los errores más frecuentes de los alumnos es interpretar -(x)^2 como (-x)^2
Así ponen que ¡¡ -(2)^2 = 4 !!
