Los alumnos ven el estudio de las funciones de proporcionalidad inversa en 2º y 3º de ESO. Lo primero que indicamos de está funciones racionales, es dónde No están definidas. Así en la función y = f(x) = 1 / x, si queremos conseguir f(0) = 1 / = vemos que no existe. Que se cercioren con la calculadora, que les dará error. No se puede dividir por cero. Decimos que el Campo de existencia o Dominio de definición de esta función es todos los nº Reales exceptuando el cero.
Sólo estudiamos las funciones racionales que lleven un número en el numerador y un polinomio de grado uno en el denominador, como por ejemplo:
y = f(x) = 1 / x y = 1 / (x -1) y = f(x) = 2 / (x + 3) y = 4 / (x - 2)
Seguimos el siguiente método:
1) Obtenemos el valor de x que anula el denominador. para ese valñor no existe la función. Representamos esa recta vertical con línea discontinua; es la asíntota vertical que nos sirve de guía.
2) Tomamos la x a una unidad de la asíntota y hallamoa su correspondiente y. dibujamos el punto. Nos separamos otra unidad de la asíntota y calculamos su ordenada. representamos el punto. se hace observar que a medida que la x crece, la y disminuye. Ya podemos dibujar la primera rama, que se va pegando cada vez más al eje OX, y al eje OY.
3) Procedemos igual por la izquierda de la asíntota vertical, tomando una unidad a su izquierda y hallando su y. Nos separamos otra unidad a la izquierda, obtenemos su y. lo representamos. así tendremos la otra rama, que se pegará al eje OX y al eje OY. Ya tenemos dibujada la hipérbola.
EJEMPLO 1. Representar la función y = f(x) = 1 / (x - 2)
1) No está definida si x - 2 = 0, es decir x = 2 es la Asíntota vertical, que representamos con línea discontinua y nos servirá de guía.
2) Tomamos x = 3 y hallamos f(3) = 1 / (3 -2) = 1 / 1 = 1 tenemos el punto (3, 1) que representamos. A continuación tomamos x = 4 con f(4) = 1 /(4 - 2 ) = 1 / 2 Otro punto es pues, (4, 1 / 2), que representamos. Ya podemos dibujar la rama teniendo en cuenta la "atracción" de la Asíntota vertical x = 2, y tambien la horizontal, el eje OX.
3) Ahora tomamos una x separada una unidad a la izquierda de la Asíntota verticla x = 1 y su imagen f(1) = 1 / (1- 2) = 1 / -1 = -1. Punto (1, -1) que representamos. Nos separamos otra unidad hacia la izquierda x = 0 con f(0) = 1 / 0 -2) = 1 / -2 = -1/ 2 Punto (0, -1/2) que llevamos a los ejes. ya podemos dibujar la otra rama.
Se hace observar como a medida que la x aumenta de valor, la ordenada disminuye, es la proporcionalidad inversa. Presenta una simetría con respecto al punto de corte de la Asíntota vertical con el eje OX.
EJEMPLO 2. Representar la función y = f(x) = 2 / (x + 3)
1) Hallamos donde no existe; para ello se hace cero el denominador x + 3 = 0 implica que x = = -3 es la Asíntota vertical, donde no puede tocar la función. La representamos con línea discontinua, siendo la referencia.
2) Tomamos una unidad separada a la derecha de la Asíntota x = -2 y hallamos su y correspondiente y = 2 / (-2 + 3) = 2 / 1 = 2. Punto ( -2, 2) que representamos. A continuación nos separamos otra unidad a la derecha x = -1, cuya f(-1) = 2 / (-1 + 3) = 2 / 2 = 1. Puinto (-1,1) que lo llevamos a los ejes. Y dibujamos la rama, siempre acercándola cada vez mas a la Asíntota vertical y al eje OX.
3) Procedemos igual, pero separándonos una unidad a la izquierda de la Asíntota, x = - 4 y obtenemos y = f(-4) = 2 / (-4 + 3) = 2 / -1 = -2. Punto (-4, -2) Volvemos a tomar otro valor separado una unidad a la izquierda, x = -5 con f(-5) = 2 / (-5 + 3) = 2 / -2 = - 1 (-5, -1) y dibujamos la otra rama.
En estos casos la hipérbola se va desplazando a lo largo del eje OX.
La hipérbola, junto con la parábola y la recta son tres funciones que el alumno de 4º ESO debe dominar, pues estudiará la funciones a trozos, compuesta por las anteriores y para la aplicación de los límites y continuidad.
