Mediante la derivada de una función podemos saber la curvatura de una función, y sin observarla gráficamente. Es una de las cualidades del llamado Análisi Infinitesimal de funciones.
Y la clave está en la derivada de una función. Si nos dan analíticamente una función, calculamos la derivada segunda, que es la derivada de la derivada primera. Para ello tenemos que simplificar la derivada primera, y´, derivarla y simplificarla, y tendremos y´´.
Se estudia el signo de esta derivada segunda, mediante una tabla de signos. Para ello igualamos a cero el numerador y el denominador, independientemente. Y resolvemos las ecuaciones, obteniendo los valores de x que limitan los intervalos de la tabla.
Si la y´´ es mayor que cero la función es cóncava hacia arriba*. Si la y´´ es menor que cero la función es cóncava hacia abajo*.
Veamos algunos Ejemplos.
EJEMPLO 1. Estudiar la curvatura de la función y = f(x) = x^3 - 2x
1) Hallamos la derivada primera y´= 3 x^2 - 2 que nos sale simplificada.
2) Hallamos la derivada segunda y´´ = 6x que también sale simplificada.
3) Igualamos a cero la y´´ y resolvemos la ecuación 6x = 0, que nos da x = 0
4) Estudiamos el signo de y´´ (-infinito,0) (0, infinito)
6x - +
signo y´´ - +
Por tanto f(x) = x^3 - 2x es Cóncava hacia abajo en (-infinito, 0)
Cóncava hacia arriba en (0, infinito)
Además en x = 0 se produce un cambio de concavidad, llamándose Punto de Inflexión.
EJEMPLO 2. Estudiar la curvatura de la función y = f(x)= = 2 x^2 / (x - 1)
1) y´= (4x(x - 1) - 2 x^2) / (x - 1)^2 La simplificamos y´=(4 x^2 - 4x - 2 x^2) /(x - 1)^2 =
= (2 x^2 - 4x) / (x - 1)^2
2) y´´ =((4x - 4)(x - 1)^2 - 2(x - 1)(2 x^2 - 4x)) / (x - 1)^4 La simplificamos, observando que podemos dividir todo el numerador y todo el denominador entre x - 1
y´´ = ((4x - 4)(x - 1) - 2(2 x^2 - 4x)) / (x - 1)^3 = (4 x^2 - 4x - 4x + 4 - 4 x^2 + 8x) / (x - 1)^3 =
= 4 / (x - 1)^3 que es la derivada segunda simplificada.
3) La igualamos a cero, tanto el numerador como el deominador:
Numerador 4 = 0 Absurdo, no se encuentra ninguna x.
Denominador (x - 1)^3 = 0 implica que (x -1) = 0, es decir x = 1
4) Estudiamos el signo de y´´ mediante tabla de signos
__ (-infinito, 1) (1, infinito)___
4 + +
(x - 1)^3 - +_____
Signo y´´ - +
Por tanto la función dada es: Cóncava hacia abajo en (-infinito, 1)
Cóncava hacia arriba en (1, infinito)
Se produce un cambio de Curvatura en x = 1 pero en ese valor no existe la función dada,
por lo que No puede haber Punto de Inflexión.
Vemos pues que las derivadas son una herramienta magnífica para saber, la curvatura de una función, sin ver la gráfica. el dibujo de la función. ¡Maravillas del Análisis Infinitesimal !
* El criterio de la curvatura no está unificado. Todo depende desde donde observamos la curva. Si lo hacemos situados en el eje OY positivo, veremos la curva de nuestra función convexa(cóncava hacia abajo),desde menos infinito hasta a, y desde b hasta el infinito.
Si lo hacemos desde el eje OY negativo, la veremos cóncava( cóncava hacia abajo)
