Las asíntotas de una función son rectas a la que la función se va acercando cada vez más, conforme la x va aumentando; pero nunca llega la función a tocar a esa recta, su asíntota.
Hay tres tipos de Asíntotas: 1) Verticales, 2) Horizontales y 3) Oblicuas.
Para hallar las asíntotas de una función, tenemos que saber algo de Límites de una función, pues es la herramienta que se usa para hallarlas. Por tanto, remito al lector que lea mi artículo titulado "Qué son los límites de funciones y para qué sirven"
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ASÍNTOTA HORIZONTAL DE y = f(x)
Como su propio nombre indica es una recta horizontal. Para calcularla tenemos que descubrir qué le pasa a la función, cuando la x la hacemos cada vez más grande, hacia el infinito. Decimos que x tiende a infinito.
Es decir, tenemos que calcular lim f(x) cuando x tiende a infinito, y nos tiene que salir un número real. Si lim f(x) = L implica que la recta y = L es Asíntota Horizontal x--- infinito
Veamos un ejemplo. Hallar la asíntota horizontal de y = f(x) = (2x - 1) / (x + 3)
Hallamos lim (2x - 1) / (x + 3) = 2/1 = 2. Por tanto, y = 2 es la asíntota horizontal de la función. x--- infinito
Esto quiere decir que cuando la x tome valores cada vez más grande, la función se pega a la recta y = 2, sin llegar a tocarla.
Ejemplo 1. Hallar la asíntota horizontal de la función y = x^2 / x+3
Calculamos lim (x^2 / x + 3) = infinito, pues el grado del numerador es mayor que el del denominador. x--- infinito Como no ha salido un n.º real, no hay A.H.
Lo que le ocurre a esta función, cuando la x tiende a infinito, es que la y se va al infinito, hay una rama parabólica.
Ejemplo 2. Hallar la asíntota horizontal de y = f(x) = (4x^2 - 3) / (2x^2 -5)
Hallamos lim (4x^2 - 3) / (2x^2 - 5) = 4/2 = 2, ya que tienen el mismo grado y se dividen los coeficientes x--- infinito Por tanto, la recta y = 2 es A.H.
Ejemplo 3. Hallar la asíntota horizontal de y = (25 x^4 - 3 x^3 + 2) / (5 x^4 + x - 1)
Hallamos lim (25 x^4 - 3 x^3 + 2) / (5 x^4 + x - 1) = 25/5 = 5 La recta y = 5 es A.H. x--- infinito
Ejemplo 4. Hallar la asíntota horizontal de y = (2)^(1/x)
Hallamos lim (2)^(1/x) = (2)^0 = 1. Por tanto, la recta y = 1 es asíntota horizontal x--- infinito
- Ejercicio 1. Hallar la asíntota horizontal de y = 4/x
- Ejercicio 2. Hallar la asíntota horizontal de y = (8 x^2 - 3x) / (x^2 + 5)
- Ejercicio 3. Hallar la asíntota horizontal de y = 5 / x - 4
ASÍNTOTA VERTICAL DE y = f(x)
Ocurre que en algunas funciones, para ciertos valores de x, la función no existe. Pero esta no existencia puede ser o bien porque hay un agujero en la función, o porque la función tiende a irse al infinito, cuando nos aproximamos con la x a esos puntos.
En este segundo caso es cuando hay asíntota vertical. Es decir:
Si lim f(x) = infinito implica que la recta x = a es asíntota vertical x--- a
Por tanto, el método para calcular las asíntotas verticales de una función es:
1) Hallamos el Dominio de definición de la función (*)
2) En los puntos donde no existe la función, tenemos que hallar el límite y nos tiene que dar infinito, positivo o negativo.
Por ejemplo, para hallar las asíntotas de y = 3 /(x - 2), primero hallamos el Dominio, que es D = R -(2). Y segundo hallamos lim 3 /(x - 2) = 3/o = infinito. Por tanto, x = 2 es A.V. x--- 2
Ejemplo 5. Hallar las asíntotas verticales de y = (x + 1) / (x^2 - 4)
Aplicamos el método descrito anteriormente:
1) D = R - (- 2, 2). Y en esos dos valores de x, donde no existe la función, hallamos,
2) lim (x + 1) / (x^2 - 4) = - 1/o = infinito (**) Por tanto, x = - 2 es asíntota vertical x--- - 2
lim (x + 1) / (x^2 - 4) = 3/o = infinito. Por tanto, x = 2 es asíntota vertical x--- 2
Ejemplo 6. Hallar las asíntotas verticales de y = (x - 3) / (x^2 - 9)
1) D = R - (- 3, 3)
2) lim (x - 3) / (x^2 - 9) = - 6/ o = infinito. Por tanto, x = - 3 es asíntota vertical x--- - 3
lim (x - 3) / (x^2 - 9) = 0/o indeterminado. Tenemos que quitar esta indeterminación y para x--- 3 ello descomponemos el denominador, y simplificamos, quedando lim 1/ ( x + 3) = 1/6. Como no sale infinito, no hay asíntota vertical en x = 3 x--- 3
Ejemplo 7. Hallar las asíntotas verticales de y = (x^2 - 3x + 4) / (x^2 - 1)
1) D = R -(1)
2) lim (x^2 - 3x + 4) / (x^2 - 1) = 2/o = infinito, por tanto, x = 1 es asíntota vertical x--- 1
Ejemplo 8. Hallar las asíntotas verticales de y = (4 x^2 + 5) / (x^2 + 1)
1) D = R por tanto no hay asíntota vertical
Ejercicio 4. Hallar las asíntotas verticales de y = (x^3 - 2x) / (x^2 + 3)
Ejercicio 5. Hallar las asíntotas verticales de y = (x + 4) / (x^2 - 16)
Ejercicio 6. Hallar las asíntotas verticales de y = (3 x - 1) / (x^3 - 4x)
ASÍNTOTAS OBLICUAS DE y = f(x)
En este caso la recta asíntota ha de tener una pendiente real distinta de cero.
Será una recta en la forma y = mx + b con m = lim f(x) / x b = lim (y - mx) x--- inf. x--- infinito
Son las más laboriosas de conseguir. Si al calcular la pendiente m sale cero, nos quiere decir que no hay asíntota oblicua, sino horizontal.
Veamos un ejemplo. Hallar la asíntota oblicua de y = (3 x^2 - 2) / (x +1)
Será una recta en la forma y = mx + b con m = lim ((3 x^2 - 2) / x + 1)) / x = = lim (3 x^2 - 2) / (x^2 + x) = 3 x--- infinito x--- infinito
b = lim ((3 x^2 - 2) / (x + 1)) - 3x = lim (3 x^2 - 2 - 3 x^2 - 3x) / (x + 1) = lim ( -3x - 2) / (x + 1) = x--- infinito x--- infinito = - 3
Por tanto, la asíntota oblicua es y = 3x - 3
Ejemplo 9. Hallar la asíntota oblicua de y = (2 x^2) / ( x - 1)
Será una recta de la forma y = mx + b con m real, distinto de cero.
m = lim ((2 x^2) / (x - 1)) / x = lim (2 x^2) / ( x^2 - x) = 2 x--- infinito x--- infinito
b = lim ((2 x^2) / (x - 1)) - 2x = lim (2 x^2 - 2x^2 + 2x) / (x - 1) = lim (2x) / (x - 1) = 2 x--- infinito x--- infinito x--- infinito
Por tanto, la recta y = 2x + 2 es asíntota oblicua de esa función
Ejemplo 10. Hallar la asíntota oblicua de y = (4x + 3) / (2x - 1)
y = mx + b m = lim ((4x + 3) / (2x - 1)) / x = lim (4x + 3) / (2 x^2 - x) = 0 . x--- infinito x--- infinito
Por tanto, la función dada no tiene asíntota oblicua, pues m = 0
Ejemplo 11. Hallar todsas las asíntotas de la función y = (4 x^3 - 2) / (x^2 - 9)
Asíntota horizontal lim (4 x^3 - 2) / (x^2 - 9) = infinito. Por tanto, no tiene x--- infinito
Asíntotas verticales: 1) D = R - (-3, 3)
2) lim (4 x^3 - 2) / (x^2 - 9) = - 110 / o = infinito. Por tanto, x = - 3 es asíntota vertical x--- - 3
lim (4 x^3 - 2) / (x^2 - 9) = 106 / o = infinito. Por tanto, la recta x = 3 es asíntota vertical x--- 3
Asíntota oblicua: y = mx + b m = lim ((4 x^3 - 2) / (x^2 - 9)) / x = lim (4 x^3 - 2) / (x^3 - 9x) = x--- infinito x--- infinito
= 4 b = lim ((4 x^3 -2) / (x^2 - 9)) - 4x = lim (4 x^3 - 2 - 4 x^3 + 36x) / x^2 - 9) = x--- infinito x--- infinito = lim (36x - 2) / (x^2 - 9) = 0 x--- infinito
Por tanto, la recta y = 4x es asíntota oblicua
Ejercicio 7. Hallar todas las asíntotas de la función y = (2 x^3) / (x - 1)^3
Vemos, pues, otra aplicación de los límites de funciones, para el cálculo de las asíntotas de una función.
(*) Leer el artículo "Qué es el Dominio de definición de una función, cómo se obtiene"
(**) Omitimos el signo de infinitésimo, que viene escrito con una o, no con 0
SOLUCIONES
1) y = 0
2) y = 8
3) y = 0
4) No hay.
5) x = 4
6) x = 0, x = - 2, x = 2
7) A. H. y = 2, A.V x = 1, A.O. no tiene
