Para representar la función y = cos x, tenemos que recordar que la línea trigonométrica del coseno, con circunferencia goniométrica de r = 1, viene dada por la abscisa.
Así, cos 0º = 1, cos 90º = 0. Además cos 45º = sen 45º, lo que nos facilitará el dibujo, pues trasla daremos los valores del seno, en ángulos complementarios, teniendo cuidado con los signos.
Los alumnos dispondrán de escuadra, cartabón, recta milimetrada, lápiz, goma y un folio de DIN A4. El folio lo tomaremos de forma apaisada. En él trazaremos centrado el eje OX, y el eje OY a una dstancia de 10 cm del borde del folio. El profesor actuará en la pizarra, proporcionalmente a su medida. Tomamos en el eje de las x, 10 medidas de 2 cm, y en el eje de las y tan sólo dos medidas de 4 cm, que será nuestra unidad.
Si x = 0º y = cos 0º = 1 Punto (0, 1)
Si x = 45º y = cos 45ª = sen 45º y lo trasladamos, teniendo el punto (45º, cos 45º), sin necesidad de hallarlo con la calculadora.
Si x = 90º y = cos 90º = 0 Punto (90º, 0) ya tenemos tres puntos de la función en el primer cuadrante, que podemos representar. Y se pasa al segundo cuadrante.
Si x = 135º y = cos 135º = - sen 135º Punto (135º, - sen 135º)
Y así sucesivamente, vamos calculando puntos de la función. Si queremos obtener más puntos dividimos por la mitad los ángulos de (pi/ 8 en pi/ 8) y vamos traslando sus cosenos(abscisas).
Vemos que a partir de 360º se comienza a repetir, por eso decimos que es una función periódica de periodo 2 pi. Además está acotada en su s alturas, por (-1,1), incluido los extremos.
Extremos
y´= - senx la derivada ha de ser cero, pues en los extremos máximos o mínimos, la tangente ha de ser horizontal, de pendiemte cero. pot tanto - sen x = 0 implica x = 0º, 180º, 360º, para una vuelta. Para ver si son máximos o mínimos, se halla la derivada segunda:
y´´ = - cos x. Y se particulariza en los candidatos anteriores
y´´(0º) = - cos 0º = -1 < 0 implica Máximo en (0º, 1)
y´´(180º) = - cos 180º = -(- 1) = 1 > 0 implica Mínimo en (180º, - 1)
y´´(360º) = - cos 360º = - 1 < 0 implica Máximo en (360º, 1)
Serán tambien extremos absolutos, por el recorrido de la función.
Puntos de inflexión
Se tendrá que verificar que y´´ = 0 y además y´´´ en los candidatos, distinto de cero.
y´´ = - cos x = 0 implica x = 90º, x = 270º, para una vuelta son los candidatos.
y´´´= sen x y´´´(90º) = sen 90º = 1, distinto de cero. Por tanto punto de inflexión en (90º, 0)
y´´´(270º) implica sen 270º = - 1, distinto de cero. Por tanto punto de inflexión en (270º, 0)
Podemos preguntar a cerca del Dominio, Crecimiento, corte con los ejes y curvatura gráfica y analíticamente, con lo que haremos un buen repaso del Análisis.
